多元函数具有连续的一阶偏导数时，二阶偏导数与自变量顺序无关，这一性质源于偏导数的定义和连续性。以下是证明过程：
首先，我们设多元函数为 \( f(x, y) \)，其一阶偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \) 分别表示为：
\[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} \]
\[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} \]
根据定义，二阶偏导数 \( f_{xy} \) 和 \( f_{yx} \) 分别为：
\[ f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \]
\[ f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \]
由于 \( f_x \) 和 \( f_y \) 是连续的，根据微积分的基本定理，连续函数的复合函数也是连续的。因此，\( f_{xy} \) 和 \( f_{yx} \) 也是连续的。
为了证明 \( f_{xy} = f_{yx} \)，我们可以使用中值定理。设 \( P(x, y) \) 和 \( Q(x, y) \) 是连续可微的函数，那么对于任意 \( x_0, y_0 \) 和 \( x_1, y_1 \) 满足 \( x_0 < x_1 \) 和 \( y_0 < y_1 \)，存在 \( \xi \) 和 \( \eta \) 在 \( x_0 \) 和 \( x_1 \) 之间，以及 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 在 \( y_0 \) 和 \( y_1 \) 之间，使得：
\[ f_{xy}(x_0, y_0) = \frac{f_{xy}(\xi, \alpha) - f_{xy}(x_0, y_0)}{\xi - x_0} \]
\[ f_{yx}(x_0, y_0) = \frac{f_{yx}(\alpha, y_0) - f_{yx}(x_0, y_0)}{\alpha - y_0} \]
由于 \( f_{xy} \) 和 \( f_{yx} \) 都是连续的，所以当 \( x_0 \) 和 \( y_0 \) 趋近于 \( \xi \) 和 \( \alpha \) 时，上述两个比值都趋近于 \( f_{xy}(\xi, \alpha) \) 和 \( f_{yx}(\alpha, y_0) \)。因此，我们可以得出：
\[ f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0) \]
综上所述，多元函数具有连续的一阶偏导数时，二阶偏导数与自变量顺序无关。
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