向量组正交化的过程可以遵循以下步骤：
1. 选择基准向量：首先从向量组中选取一个向量作为基准向量，通常选择模长最大的向量。
2. 构造正交向量：接着构造一个与基准向量正交的向量。可以使用向量点积的性质来实现。设基准向量为\( \mathbf{a} \)，任意向量\( \mathbf{b} \)与\( \mathbf{a} \)正交的条件是它们的点积为零，即\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \)。
3. 调整向量：对\( \mathbf{b} \)进行调整，使其成为向量组中剩余向量的正交化形式。这个过程可以采用Gram-Schmidt正交化过程。
- 步骤一：从向量组中移除基准向量\( \mathbf{a} \)，将剩余向量表示为\( \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n \)。
- 步骤二：构造第一个正交向量\( \mathbf{u}_1 \)，它等于\( \mathbf{b}_1 \)减去它与\( \mathbf{a} \)的点积除以\( \mathbf{a} \)的模长的\( \mathbf{a} \)倍。
\[ \mathbf{u}_1 = \mathbf{b}_1 - \frac{\mathbf{b}_1 \cdot \mathbf{a}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a} \]
- 步骤三：对于每一个后续的向量\( \mathbf{b}_i \)，构造一个与前面已正交向量都正交的向量\( \mathbf{u}_i \)。
\[ \mathbf{u}_i = \mathbf{b}_i - \sum_{j=1}^{i-1} \frac{\mathbf{u}_j \cdot \mathbf{b}_i}{\mathbf{u}_j \cdot \mathbf{u}_j} \mathbf{u}_j \]
4. 重复过程：重复上述步骤，直到向量组中的所有向量都被正交化。
通过以上步骤，向量组便实现了正交化。
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