为了求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量，我们首先需要解特征方程，即求解 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，其中 \( \lambda \) 是特征值，\( I \) 是单位矩阵。
1. 计算特征多项式：将矩阵 \( A \) 中的每个 \( \lambda \) 替换为单位矩阵 \( I \) 中相应位置的元素，得到矩阵 \( A - \lambda I \)。然后计算这个矩阵的行列式。
2. 求解特征值：将特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \) 展开并化简，解出 \( \lambda \) 的值，这些值即为矩阵 \( A \) 的特征值。
3. 求特征向量：对于每个特征值 \( \lambda_i \)，求解线性方程组 \( (A - \lambda_i I) \mathbf{x} = \mathbf{0} \)，其中 \( \mathbf{x} \) 是特征向量。注意，每个特征值可能对应多个线性无关的特征向量。
假设矩阵 \( A \) 为：
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \]
特征多项式为：
\[ \det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} - \lambda \end{bmatrix} \]
展开并化简后，求解得到特征值 \( \lambda \)。
接下来，对于每个特征值 \( \lambda_i \)，求解 \( (A - \lambda_i I) \mathbf{x} = \mathbf{0} \) 来找到相应的特征向量。
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