二次型的矩阵，其特征值之积等于行列式，这是因为行列式本质上反映了矩阵的线性变换对体积的缩放效果，而特征值则是这种缩放效果的量度。然而，特征值之积不等于主对角线之积，原因在于特征值是矩阵的固有属性，而主对角线之积则更多地受到矩阵具体元素排列的影响。
具体来说，特征值是矩阵经过相似变换后，变换到对角矩阵时对角线上的元素，它们反映了矩阵的本质特性。而主对角线之积则是矩阵在原位置时，对角线元素的直接乘积，这个乘积可能会因为矩阵中非对角线元素的存在而改变。
另一方面，特征值之和等于主对角线之和，这是因为特征值之和是矩阵的迹，而迹是矩阵对角线元素之和，不受非对角线元素影响。因此，无论矩阵如何变换，其特征值之和始终保持不变，这也反映了矩阵的某种内在稳定性。
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