在数学中，对于参数方程 \( x = x(t) \) 和 \( y = y(t) \)，其对应的二阶导数可以通过以下步骤推导得出：
1. 一阶导数的计算：
首先，我们计算 \( x \) 和 \( y \) 的一阶导数，即 \( \frac{dx}{dt} \) 和 \( \frac{dy}{dt} \)：
\[
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}x(t) = x'(t)
\]
\[
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}y(t) = y'(t)
\]
2. 链式法则的应用：
接下来，我们求 \( y \) 关于 \( x \) 的一阶导数，即 \( \frac{dy}{dx} \)。根据链式法则，有：
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{y'(t)}{x'(t)}
\]
3. 二阶导数的计算：
为了求出 \( y \) 关于 \( x \) 的二阶导数，即 \( \frac{d^2y}{dx^2} \)，我们再次应用链式法则：
\[
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{y'(t)}{x'(t)}\right)
\]
再次使用链式法则，我们得到：
\[
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x'(t) \cdot y''(t) - y'(t) \cdot x''(t)}{(x'(t))^3}
\]
其中，\( y''(t) = \frac{d^2y}{dt^2} \) 和 \( x''(t) = \frac{d^2x}{dt^2} \)。
因此，参数方程的二阶导数公式为：
\[
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x'(t) \cdot y''(t) - y'(t) \cdot x''(t)}{(x'(t))^3}
\]
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