计算三维列向量的行列式，我们可以采用三阶行列式的展开公式。设三维列向量为 \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}\)，其行列式 \( \det(\mathbf{A}) \) 的计算公式如下：
\[
\det(\mathbf{A}) = a_1 \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \end{vmatrix} - a_2 \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \end{vmatrix} + a_3 \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \end{vmatrix}
\]
其中，\( \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \end{vmatrix} \) 是 \(a_2\) 和 \(a_3\) 构成的二阶行列式，计算方法为：
\[
\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \end{vmatrix} = a_2 \cdot a_3 - a_1 \cdot a_2
\]
同理，\( \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \end{vmatrix} \) 和 \( \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \end{vmatrix} \) 的计算方法也是如此。通过这种方法，可以将三维列向量的行列式计算为：
\[
\det(\mathbf{A}) = a_1(a_2 \cdot a_3 - a_1 \cdot a_3) - a_2(a_1 \cdot a_3 - a_1 \cdot a_2) + a_3(a_1 \cdot a_2 - a_1 \cdot a_2)
\]
化简后，可以得到：
\[
\det(\mathbf{A}) = a_1a_2a_3 - a_1^2a_3 - a_1a_2^2 + a_1^2a_2
\]
这就是三维列向量行列式的计算方法。
【考研刷题通】小程序，为您提供全面考研刷题服务，政治、英语、数学等科目一网打尽。随时随地，轻松备考，助力您顺利考研！快来体验吧！