等价无穷小的证明通常涉及极限的计算。以下是一个关于等价无穷小的证明示例：
假设我们要证明当 \( x \to 0 \) 时，\( \sin x \) 与 \( x \) 是等价无穷小。
证明：
根据泰勒公式，对于任意 \( x \) ，有：
\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]
当 \( x \to 0 \) 时，所有高阶无穷小项 \( \frac{x^3}{3!} \)、\( \frac{x^5}{5!} \) 等都趋向于0。因此，我们可以忽略这些高阶项，得到：
\[ \sin x \approx x \]
现在，我们需要证明：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]
由于 \( \sin x \approx x \)，我们可以将上式改写为：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 \]
显然，当 \( x \to 0 \) 时，\( \frac{x}{x} \) 的极限为1。因此，我们证明了当 \( x \to 0 \) 时，\( \sin x \) 与 \( x \) 是等价无穷小。
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