考研数学无穷级数常见考点与解题思路解析

无穷级数是考研数学中的重点内容，也是很多同学的难点。它不仅考察基础概念，还涉及多种计算方法和技巧。本文将通过几个典型例题，帮助大家理解无穷级数的核心考点，掌握解题思路。

无穷级数入门介绍

无穷级数在考研数学中占据重要地位，主要考察数项级数的收敛性判断、幂级数的收敛域与和函数求解、傅里叶级数等知识点。这部分内容既需要扎实的理论基础，又需要灵活的解题技巧。很多同学在学习和解题过程中，容易陷入概念混淆或方法单一的问题。通过典型的例题解析，可以帮助大家厘清思路，建立完整的知识体系。无穷级数的考察形式多样，既有概念辨析题，也有计算证明题，因此需要全面掌握各类方法，才能在考试中游刃有余。

解题技巧与注意事项

在解析无穷级数问题时，要注意以下几点技巧：

根据题目特点选择合适的收敛性判别方法，如正项级数的比较判别法、比值判别法，交错级数的莱布尼茨判别法等；

在求解幂级数收敛域时，要特别注意端点收敛性的单独讨论；

对于傅里叶级数问题，要熟练掌握奇偶延拓和周期延拓的方法。在计算过程中，建议先画出函数图像，帮助理解级数的展开规律。解题步骤要规范清晰，避免因表达不清导致失分。

典型例题解析

例1：正项级数收敛性判断

问题：判断级数 ∑(n=1 to ∞) (n2 + 1) / (n3 + n) 的收敛性。

答案：观察级数通项 a_n = (n2 + 1) / (n3 + n)，当 n 趋向无穷时，分子分母最高次项系数相同，因此 a_n 的极限为 1/n。由于调和级数 ∑(1/n) 发散，可以初步判断原级数发散。为严格证明，采用比较判别法：当 n 足够大时，a_n ≈ 1/n，而 1/n 与调和级数项相同，因此原级数发散。若采用比值判别法，计算 lim(n→∞) a_(n+1)/a_n = lim(n→∞) [(n+1)2+1]/[(n+1)3+(n+1)] [(n3+n)/(n2+1)] ≈ 1/3 < 1，同样可得级数发散。

例2：幂级数收敛域求解

问题：求幂级数 ∑(n=0 to ∞) (x-2)n / (3n n!) 的收敛域。

答案：使用比值判别法求解收敛半径：lim(n→∞) (a_(n+1)/a_n) = lim(n→∞) (3n n!)/(3(n+1) (n+1)!) (x-2)(n+1)/(x-2)n = x-2/3。收敛条件为 x-2/3 < 1，即 x-2 < 3，得到收敛区间 (1, 5)。对于端点 x=1 和 x=5，分别代入原级数：当 x=1 时，级数变为 ∑(n=0 to ∞) (-1)n/3n n!，由斯特林公式可知项的绝对值趋于无穷，级数发散；当 x=5 时，级数变为 ∑(n=0 to ∞) 1/3n n!，同样发散。因此收敛域为 (1, 5)。

例3：傅里叶级数展开

问题：将函数 f(x) = x 在 [0, π] 上展开为正弦级数。

答案：由于 f(x) 在 [0, π] 上为奇函数，可直接展开为正弦级数。计算傅里叶系数 b_n = (2/π) ∫(0 to π) x sin(nx) dx。采用分部积分法：令 u=x, dv=sin(nx)dx，则 du=dx, v=-cos(nx)/n。积分后得到 b_n = (2/π) [(x(-cos(nx)/n)_0π ∫(0 to π) (-cos(nx)/n)dx] = (2/π) [π(-(-1)n/n) 0] = 2(1-(-1)n)/nπ。当 n 为偶数时，b_n=0；当 n 为奇数时，b_n=4/(nπ)。因此正弦级数展开式为 x = ∑(k=0 to ∞) 4/(2k+1)π sin((2k+1)x)，其中 k 为非负整数。