在考研数学中，级数是基础且重要的内容。以下是一些常见的级数及其敛散性分析：
1. 几何级数：形式为 $\sum_{n=1}^{\infty} ar^n$，其中 $a$ 是首项，$r$ 是公比。当 $|r| < 1$ 时，级数收敛；当 $|r| \geq 1$ 时，级数发散。
2. 调和级数：形式为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，它是一个发散级数。
3. 交错级数：如 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n b_n$，其中 $b_n$ 是正项。如果 $b_n$ 单调递减且 $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$，则交错级数收敛。
4. p-级数：形式为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$，当 $p > 1$ 时，级数收敛；当 $p \leq 1$ 时，级数发散。
5. 幂级数：形式为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，其收敛半径 $R$ 由公式 $R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}}$ 给出。
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