考研数学二线性代数重点难点解析

线性代数是考研数学二的重要板块，涉及矩阵运算、向量空间、线性方程组、特征值与特征向量等多个核心概念。很多考生在备考过程中容易混淆相似矩阵与矩阵相似的判定条件，或者对秩的计算方法掌握不牢固。本文将通过典型例题解析，帮助考生厘清易错点，掌握解题技巧，提升应试能力。

问题1：如何判断两个矩阵是否相似？

相似矩阵是指存在可逆矩阵P，使得A = P?1BP。判断两个矩阵是否相似，需要满足以下条件：
1. 特征值相同：若A和B相似，则它们的特征值集合完全一致，但反过来不成立。
2. 行列式相等：det(A) = det(B)，因为行列式等于特征值的乘积。
3. 秩相同：相似变换不改变矩阵的秩。
4. 多项式谱相同：f(λ) = det(λI A) = det(λI B)对所有λ成立。

例题：判断矩阵A = [[1, 2], [0, 3]]与B = [[3, 0], [0, 1]]是否相似。
解析：
A的特征值为1和3，B的特征值为1和3，满足特征值相同。
det(A) = 3，det(B) = 3，行列式相等。
秩(A) = 2，秩(B) = 2。
多项式谱相同，f(λ) = (λ 1)(λ 3)对两个矩阵都成立。
因此，A与B相似。

注意：特征值相同是必要非充分条件，还需验证其他条件。若仅知道特征值相同，不能直接断言相似。

问题2：矩阵的秩如何计算？

矩阵的秩是指其非零子式的最高阶数，计算方法包括：
1. 行变换法：通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形，非零行数即为秩。
2. 子式法：计算最高阶非零子式，如2阶子式非零则秩≥2，否则继续计算1阶子式。

例题：求矩阵C = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 0, 1]]的秩。
解析：
对C进行行变换：
R2 2R1 → [[1, 2, 3], [0, 0, 0], [1, 0, 1]]
R3 R1 → [[1, 2, 3], [0, 0, 0], [0, -2, -2]]
化为行阶梯形：[[1, 2, 3], [0, 0, 0], [0, 1, 1]]
非零行数为2，故秩(C) = 2。

关键点：行变换不改变秩，但需保留主对角线元素以简化计算。

问题3：线性方程组解的判定条件有哪些？

线性方程组ax? + bx? + ... = 0的解的判定涉及系数矩阵A与增广矩阵B的秩：
1. 无解：若rank(A) ≠ rank(B)，增广矩阵比系数矩阵多自由变量，矛盾。
2. 唯一解：若rank(A) = n（n为方程个数），矩阵为满秩，解唯一。
3. 无穷解：若rank(A) < n，存在自由变量，解为参数形式。

例题：解方程组[[1, 1], [2, 2]]x = [3, 6]。
解析：
增广矩阵B = [[1, 1, 3], [2, 2, 6]]
R2 2R1 → [[1, 1, 3], [0, 0, 0]]
rank(A) = 1，rank(B) = 1 < 2（方程个数），无解。

注意：自由变量个数等于n rank(A)，需明确参数取值范围。