2015年考研数学一第15题主要考查了多元函数微分学的应用。题目给出一个二元函数，要求求出函数在某点处的全微分。解题步骤如下：
1. 首先求出函数的偏导数。根据题目中给出的函数，对x和y分别求偏导数，得到：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^2 + y^2}$$
$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}$$
2. 然后求出全微分。根据全微分的定义，有：
$$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$$
将上面求得的偏导数代入，得到：
$$dz = \frac{1}{x^2 + y^2}dx + \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}dy$$
3. 最后，根据题目要求，求出函数在点（1，1）处的全微分。将x=1，y=1代入上式，得到：
$$dz = \frac{1}{1^2 + 1^2}dx + \frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{(1^2 + 1^2)^2}dy = \frac{1}{2}dx + \frac{1}{2}dy$$
所以，2015年考研数学一第15题的答案是：$$dz = \frac{1}{2}dx + \frac{1}{2}dy$$
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