在2012年考研数学中，数列证明题通常涉及以下几个关键点：
1. 数列的收敛性：证明一个数列是否收敛，通常需要利用数列极限的定义和性质。例如，证明数列\(\{a_n\}\)收敛到\(a\)，需证明对任意\(\epsilon > 0\)，存在正整数\(N\)，使得当\(n > N\)时，\(|a_n - a| < \epsilon\)。
2. 数列的界限：证明一个数列有上界或下界，可以利用单调性、有界性、极限存在性等性质。如证明数列\(\{a_n\}\)有上界，需找到一实数\(M\)，使得\(|a_n| \leq M\)对所有\(n\)成立。
3. 数列的通项公式：给定数列的前几项，求出其通项公式。这通常需要观察数列的规律，运用递推关系或数学归纳法等。
4. 数列的极限存在性：证明数列的极限存在，可以使用夹逼定理、单调有界原理等方法。
以下是一个可能的数列证明题的解答：
题目：证明数列\(\{a_n\}\)其中\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = \frac{a_n + 2}{a_n + 3}\)对所有\(n \geq 1\)，证明\(\lim_{n \to \infty} a_n = 2\)。
解答：
首先，我们观察到当\(n\)足够大时，\(a_n\)的值将趋近于2。接下来，我们使用数学归纳法证明这个数列是单调递减的。
（1）当\(n = 1\)时，\(a_1 = 1\)。
（2）假设当\(n = k\)时，\(a_k > 2\)成立。
（3）考虑\(n = k + 1\)时，有
\[a_{k+1} = \frac{a_k + 2}{a_k + 3}.\]
由于\(a_k > 2\)，则\(a_k + 2 > 4\)，且\(a_k + 3 > 5\)。因此，
\[a_{k+1} = \frac{a_k + 2}{a_k + 3} < \frac{4}{5} < 2.\]
所以，\(a_{k+1} < 2\)，即数列是单调递减的。
（4）由于数列单调递减且有下界2，根据单调有界原理，数列\(\{a_n\}\)的极限存在。
设\(\lim_{n \to \infty} a_n = L\)，则
\[L = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n + 2}{a_n + 3} = \frac{L + 2}{L + 3}.\]
解这个方程得到\(L = 2\)。
因此，我们证明了\(\lim_{n \to \infty} a_n = 2\)。
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