2013年考研数学二真题解析如下：
一、选择题部分
1. 下列选项中，若 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处可导，则 \( f'(a) \) 等于：
A. \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)
B. \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{a+h} \)
C. \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a) - f(a-h)}{h} \)
D. \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a-h) - f(a)}{h} \)
答案：A
解析：根据导数的定义，\( f'(a) \) 等于 \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)。
2. 设 \( f(x) \) 是定义在实数集 \( R \) 上的奇函数，若 \( f(1) = 2 \)，则 \( f(-1) \) 等于：
A. -2
B. 2
C. 0
D. 无解
答案：A
解析：由于 \( f(x) \) 是奇函数，\( f(-x) = -f(x) \)。因此，\( f(-1) = -f(1) = -2 \)。
3. 设 \( A \) 为 \( 3 \times 3 \) 矩阵，\( A \) 的行列式值为 \( -6 \)，则 \( |A^2| \) 等于：
A. -36
B. 36
C. -18
D. 18
答案：B
解析：由于 \( |A^2| = |A| \times |A| \)，且 \( |A| = -6 \)，所以 \( |A^2| = (-6) \times (-6) = 36 \)。
二、填空题部分
1. 设 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)，则 \( f'(x) \) 等于：
答案：\( 3x^2 - 3 \)
解析：根据导数的基本运算法则，\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。
2. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \) 等于：
答案：1
解析：根据三角函数的极限性质，\( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)。
三、解答题部分
1. 解方程：\( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \)
答案：\( x_1 = 1 \)，\( x_2 = 2 \)，\( x_3 = 3 \)
解析：利用因式分解法，将方程左边进行因式分解，得到 \( (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0 \)，从而得到方程的解。
2. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) 的单调区间和极值。
答案：\( f(x) \) 的单调增区间为 \( (-\infty, 1) \) 和 \( (2, +\infty) \)，单调减区间为 \( (1, 2) \)；\( f(x) \) 的极大值为 \( f(1) = -1 \)，极小值为 \( f(2) = -3 \)。
解析：首先求出 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，然后令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 和 \( x = 2 \)。根据导数的正负性，可以确定 \( f(x) \) 的单调区间和极值。
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