考研数学二二重积分大题主要考察考生对二重积分概念、性质及计算方法的理解和运用能力。以下是一道典型的大题：
题目：已知函数 \( f(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2} \) 在区域 \( D: \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1, x \geq 0\} \) 上连续，求二重积分 \( \iint_D f(x, y) \, dx \, dy \)。
解答过程：
1. 首先，根据二重积分的定义，将区域 \( D \) 分割成无数个小矩形，计算每个小矩形的积分，然后求和。
2. 由于 \( f(x, y) \) 在区域 \( D \) 上连续，可以使用积分中值定理，即存在 \( (x_0, y_0) \in D \)，使得 \( f(x, y) \) 在区域 \( D \) 上的积分可以表示为 \( \iint_D f(x, y) \, dx \, dy = f(x_0, y_0) \cdot S_D \)，其中 \( S_D \) 是区域 \( D \) 的面积。
3. 计算 \( S_D \)：
\[ S_D = \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1 - x^2}} dy \, dx = \int_0^1 \sqrt{1 - x^2} \, dx = \frac{\pi}{4} \]
4. 由积分中值定理，得：
\[ \iint_D f(x, y) \, dx \, dy = f(x_0, y_0) \cdot S_D \]
5. 计算 \( f(x_0, y_0) \)：
\[ f(x_0, y_0) = \frac{1}{x_0^2 + y_0^2} \]
由于 \( x_0^2 + y_0^2 = 1 \)，故 \( f(x_0, y_0) = 1 \)
6. 综上，得：
\[ \iint_D f(x, y) \, dx \, dy = 1 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \]
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