2021年考研数学三真题答案及解析如下：
一、选择题
1. 答案：C
解析：根据函数连续性和导数的定义，可判断选项C正确。
2. 答案：B
解析：运用数列极限的性质，选择B。
3. 答案：A
解析：根据级数收敛的必要条件，选A。
4. 答案：D
解析：应用矩阵的特征值和特征向量的概念，选D。
5. 答案：C
解析：通过计算二重积分的极限，得出答案C。
二、填空题
6. 答案：e
解析：利用泰勒展开，得到极限值为e。
7. 答案：-1/2
解析：根据微分方程的通解公式，代入条件求出常数。
8. 答案：1/3
解析：运用定积分的性质，计算得到结果。
三、解答题
9. 解答：
（1）根据题目条件，求出导数和二阶导数。
（2）利用泰勒公式展开，代入边界条件，求解常数。
（3）根据题目要求，求出极限值。
10. 解答：
（1）利用多元函数的极值条件，求出驻点。
（2）通过计算二阶偏导数，判断驻点的性质。
（3）根据题目要求，求出最大值和最小值。
11. 解答：
（1）利用矩阵的特征值和特征向量，求出通解。
（2）根据题目条件，确定特解。
（3）写出微分方程的通解。
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