2016年考研数学二答案解析如下：
一、选择题部分
1. 答案：C
解析：此题考查了函数极限的计算。首先，将分子分母同时除以x，得到原式为$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$。然后，利用泰勒展开，$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$，代入原式得$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$。
2. 答案：B
解析：此题考查了函数的导数。对函数$f(x) = e^x \sin x$求导，利用乘积法则，得到$f'(x) = e^x \cos x + e^x \sin x$。由于$\cos x$和$\sin x$的周期性，可知$f'(x)$的周期为$2\pi$。
3. 答案：D
解析：此题考查了函数的级数展开。由于$f(x) = \frac{1}{1-x}$，当$x \in (-1,1)$时，$f(x)$的幂级数展开为$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$。因此，$f(x)$的幂级数收敛区间为$(-1,1)$。
二、填空题部分
1. 答案：$\frac{1}{2}$
解析：此题考查了行列式的计算。将行列式展开，得到$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0$。
2. 答案：$\frac{\pi}{2}$
解析：此题考查了三角函数的求值。由于$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$，$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$，代入原式得$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$。
三、解答题部分
1. 答案：
（1）求导数：$y' = 2x + 1$
（2）求二阶导数：$y'' = 2$
（3）求三阶导数：$y''' = 0$
解析：此题考查了函数的导数和二阶导数的计算。首先，对函数$y = x^2 + x$求导，得到$y' = 2x + 1$。然后，对$y'$求导，得到$y'' = 2$。最后，对$y''$求导，得到$y''' = 0$。
2. 答案：
（1）求一阶导数：$y' = \frac{2x - 1}{(x + 1)^2}$
（2）求二阶导数：$y'' = \frac{-2(x + 1) - 2(2x - 1)}{(x + 1)^4} = \frac{-4x - 4}{(x + 1)^4}$
解析：此题考查了函数的导数和二阶导数的计算。首先，对函数$y = \frac{2x - 1}{x + 1}$求导，得到$y' = \frac{2x - 1}{(x + 1)^2}$。然后，对$y'$求导，得到$y'' = \frac{-4x - 4}{(x + 1)^4}$。
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