关键词：考研数学，微分例题，极限
在考研数学的微分例题中，我们常会遇到以下类型的问题：
例题：设函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处连续，且 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - x^2}{x^3} = 2 \)，求 \( f(0) \) 的值。
解题步骤如下：
1. 首先观察极限形式，可以发现当 \( x \to 0 \) 时，分母 \( x^3 \) 趋近于0，而分子 \( f(x) - x^2 \) 也趋近于0。
2. 由于极限存在且等于2，我们可以利用等价无穷小的性质，将分子中的 \( f(x) - x^2 \) 与 \( x^3 \) 进行比较。
3. 由此得出 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - x^2}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^3} - \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^3} - 1 = 2 \)。
4. 由此得出 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^3} = 3 \)。
5. 由于 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处连续，根据连续函数的性质，我们可以得出 \( f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) = 0^3 \times 3 = 0 \)。
综上所述，考研数学微分例题中，我们可以通过等价无穷小的方法来求解极限问题。而 \( f(0) \) 的值为0。
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