在探索数学的深邃领域，极限与导数是两大基石。以下是一道典型的考研极限导数题目：
题目：已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \)，求 \( \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} \) 的值。
解答过程：
首先，我们利用导数的定义来求解。根据导数的定义，导数 \( f'(x) \) 可以表示为：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
对于给定的函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \)，我们计算 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - 3(x+h)^2 + 4(x+h) - 1 - (x^3 - 3x^2 + 4x - 1)}{h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 3x^2 - 6xh - 3h^2 + 4x + 4h - 1 - x^3 + 3x^2 - 4x + 1}{h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 6xh - 3h^2 + 4h}{h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 - 6x - 3h + 4) \]
\[ = 3x^2 - 6x + 4 \]
将 \( x = 2 \) 代入 \( f'(x) \) 中，得到：
\[ f'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 4 = 12 - 12 + 4 = 4 \]
因此，\( \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} \) 的值为 4。
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