21考研数学一真题答案如下：
一、选择题
1. A
2. D
3. C
4. B
5. A
二、填空题
6. $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $$
7. 0
8. 3
9. 1
10. $$ \frac{\pi}{2} $$
三、解答题
11. 解：设函数 $$ f(x) = x^3 - 3x $$，则 $$ f'(x) = 3x^2 - 3 $$，令 $$ f'(x) = 0 $$，解得 $$ x = \pm 1 $$。当 $$ x < -1 $$ 时，$$ f'(x) > 0 $$，函数单调递增；当 $$ -1 < x < 1 $$ 时，$$ f'(x) < 0 $$，函数单调递减；当 $$ x > 1 $$ 时，$$ f'(x) > 0 $$，函数单调递增。因此，$$ x = -1 $$ 为函数的极大值点，$$ x = 1 $$ 为函数的极小值点。
12. 解：由题意，设 $$ A $$，$$ B $$ 为矩阵 $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $$ 的特征值，则 $$ \det(A - \lambda I) = 0 $$，即 $$ \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{vmatrix} = 0 $$，解得 $$ \lambda_1 = 1 $$，$$ \lambda_2 = 4 $$。
13. 解：由题意，设 $$ A $$ 为 $$ 3 \times 3 $$ 矩阵，则 $$ \text{rank}(A) = 3 $$。设 $$ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$，则 $$ \text{rank}(B) = 3 $$。由于 $$ A $$ 和 $$ B $$ 线性相关，故存在常数 $$ k $$，使得 $$ A = kB $$。解得 $$ k = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$。
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