题目：若函数 \( f(x) = e^{x} - x^2 \) 在区间 \([0, +\infty)\) 上单调递增，则 \( f(x) \) 的最小值为多少？
解答：首先，我们需要确定函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{x} - x^2) = e^{x} - 2x \]
为了找出函数的极值点，我们需要解方程 \( f'(x) = 0 \)。
\[ e^{x} - 2x = 0 \]
由于这个方程没有解析解，我们可以通过观察 \( f'(x) \) 的符号变化来判断 \( f(x) \) 的单调性。注意到 \( e^{x} \) 总是正的，所以当 \( x < \ln(2) \) 时，\( f'(x) < 0 \)，函数单调递减；当 \( x > \ln(2) \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增。
由于 \( f(x) \) 在区间 \([0, +\infty)\) 上单调递增，我们可以推断 \( f(x) \) 在 \( x = \ln(2) \) 处取得最小值。计算 \( f(\ln(2)) \)：
\[ f(\ln(2)) = e^{\ln(2)} - (\ln(2))^2 = 2 - (\ln(2))^2 \]
所以，函数 \( f(x) \) 的最小值为 \( 2 - (\ln(2))^2 \)。
【考研刷题通】——考研路上的得力助手！小程序内置政治、英语、数学等全科目刷题功能，让你随时随地高效备考。快来体验，开启你的高效考研之旅！📚💪【考研刷题通】📱