偏微分方程是考研数学中常见的考点之一。近年来，偏微分方程在考研试题中频繁出现，涵盖了基本概念、理论以及应用问题。以下是一个偏微分方程的例题：
例题：设函数\( u(x,y) \)是定义在平面区域\( D: \{ (x,y) | x^2 + y^2 \leq 1 \} \)上的二阶连续可微函数，且满足如下条件：
\[ \begin{cases} u_{xx} + u_{yy} = 0 \\ u(0,y) = 0 \\ u(x,0) = x^2 \end{cases} \]
求函数\( u(x,y) \)。
解答：这是一个典型的拉普拉斯方程求解问题。首先，利用边界条件\( u(0,y) = 0 \)和\( u(x,0) = x^2 \)，我们可以设\( u(x,y) = X(x)Y(y) \)。然后，通过分离变量法，可以得到以下方程组：
\[ \begin{cases} X''(x) + \lambda X(x) = 0 \\ Y''(y) - \frac{\lambda}{x^2} Y(y) = 0 \end{cases} \]
其中，\( \lambda \)为分离变量得到的常数。解得：
\[ X(x) = A\cos(\sqrt{\lambda}x) + B\sin(\sqrt{\lambda}x) \]
\[ Y(y) = C\cosh(\sqrt{\lambda}y) + D\sinh(\sqrt{\lambda}y) \]
将\( X(x) \)和\( Y(y) \)代入原方程，并结合边界条件，可得：
\[ A\cos(\sqrt{\lambda}x)\cosh(\sqrt{\lambda}y) + B\sin(\sqrt{\lambda}x)\sinh(\sqrt{\lambda}y) = x^2 \]
通过傅里叶级数展开，我们可以得到\( A \)和\( B \)的表达式，进而求出\( u(x,y) \)。
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