2023年数二考研真题22题解析如下：
题目：设函数$f(x)=\frac{e^x}{x}$，其中$x>0$，求$f(x)$在$x=1$处的泰勒展开式。
解答思路：
1. 首先，求$f(x)$在$x=1$处的导数$f'(x)$；
2. 然后，求$f'(x)$在$x=1$处的值$f'(1)$；
3. 接着，求$f''(x)$在$x=1$处的值$f''(1)$；
4. 重复上述步骤，求出$f^{(n)}(x)$在$x=1$处的值$f^{(n)}(1)$；
5. 最后，代入泰勒公式得到$f(x)$在$x=1$处的泰勒展开式。
解答过程：
1. 求导数：$f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x}{x}\right)=\frac{xe^x-e^x}{x^2}=\frac{(x-1)e^x}{x^2}$；
2. 求$f'(1)$：$f'(1)=\frac{(1-1)e^1}{1^2}=0$；
3. 求$f''(x)$：$f''(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{(x-1)e^x}{x^2}\right)=\frac{(x-1)e^x-2xe^x+2e^x}{x^3}=\frac{(x-3)e^x}{x^3}$；
4. 求$f''(1)$：$f''(1)=\frac{(1-3)e^1}{1^3}=-2e$；
5. 求$f^{(n)}(x)$：通过归纳法，可得$f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}(x-n)e^x}{x^n}$；
6. 求$f^{(n)}(1)$：$f^{(n)}(1)=\frac{(-1)^{n-1}(1-n)e^1}{1^n}=(-1)^{n-1}(1-n)e$；
7. 代入泰勒公式：$f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n+o((x-1)^n)$；
8. 代入具体数值：$f(x)=e+0-\frac{2e}{2!}(x-1)^2+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}(1-n)e}{n!}(x-1)^n+o((x-1)^n)$。
最终答案：$f(x)=e-\frac{2e}{2!}(x-1)^2+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}(1-n)e}{n!}(x-1)^n+o((x-1)^n)$。
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