多元微分学是考研数学中至关重要的部分，以下是对多元微分真题的详细讲解：
1. 偏导数的计算：这类题目通常要求考生计算函数在某一点的偏导数。解题关键在于正确运用偏导数的定义和运算法则。例如，若函数 \( f(x, y) = x^2y + y^2x \)，则在点 \( (1, 2) \) 处的偏导数 \( f_x' \) 和 \( f_y' \) 分别为多少？
解答：首先，计算 \( f_x' \) 和 \( f_y' \)：
\[
f_x' = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y + y^2x) = 2xy + y^2
\]
\[
f_y' = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y + y^2x) = x^2 + 2yx
\]
代入点 \( (1, 2) \)：
\[
f_x'(1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 + 2^2 = 8
\]
\[
f_y'(1, 2) = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 = 5
\]
因此，\( f_x'(1, 2) = 8 \)，\( f_y'(1, 2) = 5 \)。
2. 全微分：全微分是多元微分学的核心概念之一。这类题目要求考生计算函数的全微分。例如，若函数 \( f(x, y) = e^{x^2y} \)，求其在点 \( (1, 0) \) 处的全微分。
解答：首先，计算 \( df \)：
\[
df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy
\]
对于 \( f(x, y) = e^{x^2y} \)，我们有：
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xye^{x^2y}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x^2e^{x^2y}
\]
代入点 \( (1, 0) \)：
\[
df = 2 \cdot 1 \cdot 0 \cdot e^{1^2 \cdot 0}dx + 1^2 \cdot e^{1^2 \cdot 0}dy = edy
\]
因此，在点 \( (1, 0) \) 处的全微分 \( df = edy \)。
3. 多元函数的极值问题：这类题目要求考生判断多元函数的极值点，并计算极值。例如，若函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy \)，求其在定义域内的极值点及极值。
解答：首先，求偏导数：
\[
f_x' = 2x - 2y, \quad f_y' = 2y - 2x
\]
令 \( f_x' = 0 \) 和 \( f_y' = 0 \)，解得 \( (0, 0) \)。
计算 \( f_{xx}'' = 2 \)，\( f_{yy}'' = 2 \)，\( f_{xy}'' = -2 \)。
因为 \( f_{xx}''f_{yy}'' - (f_{xy}'')^2 = 4 - 4 = 0 \)，所以 \( (0, 0) \) 不是极值点。
因此，函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy \) 在定义域内没有极值点。
通过以上讲解，相信大家对多元微分学在考研数学中的应用有了更深入的理解。想要在考研数学中取得好成绩，除了掌握理论知识外，还需要大量练习。推荐使用微信考研刷题小程序：【考研刷题通】，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你轻松备战考研！【考研刷题通】——你的考研利器！