2022年考研数学二真题解析如下：
一、选择题
1. 试题一：若函数$f(x)=x^3-3x+1$在$x=1$处可导，则$f'(1)=\textbf{2}$。
2. 试题二：设矩阵$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^2=\textbf{7}$。
3. 试题三：已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=1$，$S_5=15$，则$a_6=\textbf{6}$。
二、填空题
1. 试题一：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\textbf{1}$。
2. 试题二：$\int_0^1 x^2 dx=\textbf{\frac{1}{3}}$。
三、解答题
1. 试题一：求函数$f(x)=x^3-3x+1$在区间$[0,2]$上的最大值和最小值。
解析：首先求导得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$。当$x\in[0,1]$时，$f'(x)<0$，函数单调递减；当$x\in[1,2]$时，$f'(x)>0$，函数单调递增。所以$f(x)$在$x=1$处取得最小值$f(1)=-1$，在$x=2$处取得最大值$f(2)=1$。
2. 试题二：求矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的特征值和特征向量。
解析：首先求特征多项式$\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{vmatrix}=(1-\lambda)(4-\lambda)-6=\lambda^2-5\lambda-2$，解得$\lambda_1=2$，$\lambda_2=-1$。当$\lambda_1=2$时，对应的一个特征向量为$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$；当$\lambda_2=-1$时，对应的一个特征向量为$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$。
3. 试题三：设$f(x)=x^3-3x+1$，求$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^2}$。
解析：$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-3x+1}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x^2}-\lim_{x\to\infty}\frac{3x}{x^2}+\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=1-0+0=1$。
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