2020年考研数学二卷真题解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，则$f'(0)$的值为：
A. 0
B. 1
C. -1
D. $\frac{1}{2}$
答案：C
2. 若向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$，向量$\vec{b} = (2, 3, 4)$，则$\vec{a} \cdot \vec{b}$的值为：
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
答案：B
3. 下列函数中，在$x=0$处连续的是：
A. $f(x) = |x|$
B. $f(x) = \frac{1}{x}$
C. $f(x) = x^2$
D. $f(x) = \sin x$
答案：A
二、填空题
4. 设$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(1)$的值为______。
答案：-2
5. 设$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = L$，则$L$的值为______。
答案：2
三、解答题
6. 求极限$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^2}$。
解答：令$t = \ln x$，则当$x \to \infty$时，$t \to \infty$，原极限转化为$\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2t}}$。利用洛必达法则，得到$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{2e^{2t}} = 0$。
7. 设$A$为$3 \times 3$矩阵，已知$A^2 - 2A + 3E = 0$，求$A^{-1}$。
解答：由$A^2 - 2A + 3E = 0$，得$(A - E)(A - 3E) = 0$，所以$A$的特征值为$1$和$3$。设$A = PDP^{-1}$，其中$D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$，则$A^{-1} = P^{-1}D^{-1}P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$。
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