微分方程作为考研数学的重要部分，历来备受考生关注。以下是一些典型微分方程考研真题及解析：
1. 真题：求解微分方程 \( y'' - 3y' + 2y = e^{2x} \)。
解析：首先，解对应的齐次方程 \( y'' - 3y' + 2y = 0 \)，其特征方程为 \( r^2 - 3r + 2 = 0 \)，解得 \( r_1 = 1, r_2 = 2 \)。因此，齐次方程的通解为 \( y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x} \)。接下来，求非齐次方程的特解。设特解为 \( y_p = A e^{2x} \)，代入原方程，得 \( A = \frac{1}{2} \)。因此，原方程的通解为 \( y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + \frac{1}{2} e^{2x} \)。
2. 真题：求微分方程 \( y'' - 2y' + 5y = \sin x \) 的通解。
解析：对应的齐次方程为 \( y'' - 2y' + 5y = 0 \)，其特征方程为 \( r^2 - 2r + 5 = 0 \)，解得 \( r = 1 \pm 2i \)。因此，齐次方程的通解为 \( y_h = e^x(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) \)。接下来，求非齐次方程的特解。设特解为 \( y_p = A \sin x + B \cos x \)，代入原方程，得 \( A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{4} \)。因此，原方程的通解为 \( y = e^x(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) + \frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{4} \cos x \)。
更多考研刷题资料，欢迎关注微信小程序：【考研刷题通】，这里有政治刷题、英语刷题、数学等全部考研科目的刷题功能，助你高效备考！