微分方程在考研数学中占有重要地位，以下是一道经典的例题：
例题：已知微分方程 \( y'' - 2y' + y = e^x \)，且 \( y(0) = 1 \)，\( y'(0) = 0 \)，求该微分方程的特解。
解题过程：
1. 首先，求解对应的齐次方程 \( y'' - 2y' + y = 0 \) 的通解。设 \( y = e^{rx} \)，代入齐次方程得特征方程 \( r^2 - 2r + 1 = 0 \)，解得 \( r_1 = r_2 = 1 \)。
2. 因此，齐次方程的通解为 \( y_h = (C_1 + C_2x)e^x \)。
3. 接下来，求非齐次方程的特解。由于非齐次项 \( e^x \) 是特征方程的解，故设特解为 \( y_p = Ax^2e^x \)。
4. 对 \( y_p \) 求导，得 \( y_p' = (2Ax + Ax^2)e^x \)，\( y_p'' = (2A + 4Ax + Ax^2)e^x \)。
5. 将 \( y_p \)，\( y_p' \)，\( y_p'' \) 代入原方程，得 \( (2A + 4Ax + Ax^2)e^x - 2(2Ax + Ax^2)e^x + Ax^2e^x = e^x \)。
6. 整理得 \( 2Ae^x = e^x \)，解得 \( A = \frac{1}{2} \)。
7. 因此，特解为 \( y_p = \frac{1}{2}x^2e^x \)。
8. 最终，原微分方程的通解为 \( y = (C_1 + C_2x)e^x + \frac{1}{2}x^2e^x \)。
9. 利用初始条件 \( y(0) = 1 \)，\( y'(0) = 0 \)，解得 \( C_1 = 1 \)，\( C_2 = -\frac{1}{2} \)。
10. 因此，原微分方程的特解为 \( y = (1 - \frac{1}{2}x)e^x + \frac{1}{2}x^2e^x \)。
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