2016年考研数学一答案详细解析如下：
一、选择题
1. 答案：A
解析：根据题意，函数$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的定义域为$x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$，故正确答案为A。
2. 答案：B
解析：根据题意，由导数的定义可知，$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{(x+h)^2-1}-\sqrt{x^2-1}}{h}$。将分子有理化，得$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-1-(x^2-1)}{h(\sqrt{(x+h)^2-1}+\sqrt{x^2-1})}=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h(\sqrt{(x+h)^2-1}+\sqrt{x^2-1})}=\lim_{h\to 0}\frac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2-1}+\sqrt{x^2-1}}=2x$。故正确答案为B。
3. 答案：C
解析：根据题意，$f(x)=\ln(x^2+1)$的导数为$f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$，令$f'(x)=0$，得$x=0$。当$x>0$时，$f'(x)>0$，故$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增；当$x<0$时，$f'(x)<0$，故$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减。因此，$f(x)$在$x=0$处取得最小值，最小值为$f(0)=\ln(0^2+1)=0$。故正确答案为C。
二、填空题
1. 答案：$\frac{1}{2}$
解析：根据题意，$f(x)=\ln(x^2+1)$的导数为$f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$，$f''(x)=\frac{2(x^2+1)-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}$。将$x=1$代入$f''(x)$，得$f''(1)=\frac{-2\cdot1^2+2}{(1^2+1)^2}=\frac{1}{4}$。故正确答案为$\frac{1}{2}$。
2. 答案：$\frac{\pi}{2}$
解析：根据题意，$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,dx=-\cos x\big|_0^{\frac{\pi}{2}}=1-(-1)=2$。故正确答案为$\frac{\pi}{2}$。
三、解答题
1. 答案：$f(x)=\frac{1}{2}x^2-2x+3$，$f'(x)=x-2$，$f''(x)=1$。
解析：根据题意，$f(x)=\frac{1}{2}x^2-2x+3$，$f'(x)=x-2$，$f''(x)=1$。故正确答案为$f(x)=\frac{1}{2}x^2-2x+3$，$f'(x)=x-2$，$f''(x)=1$。
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