线性代数是考研数学中不可或缺的一部分，以下是一道典型的考研数学竞赛线性代数试题：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：
首先，求矩阵 \( A \) 的特征多项式 \( \det(A - \lambda I) \)，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。
\[
\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 4 & 5-\lambda & 6 \\ 7 & 8 & 9-\lambda \end{bmatrix}
\]
通过行列式展开，我们得到：
\[
(1-\lambda)\left[(5-\lambda)(9-\lambda) - 48\right] - 2\left[4(9-\lambda) - 28\right] + 3\left[4(5-\lambda) - 28\right] = 0
\]
简化得：
\[
\lambda^3 - 15\lambda^2 + 80\lambda - 100 = 0
\]
解这个三次方程，得到特征值 \( \lambda_1 = 5, \lambda_2 = 4, \lambda_3 = 1 \)。
接下来，求对应的特征向量。以 \( \lambda_1 = 5 \) 为例，解方程组 \( (A - 5I)x = 0 \)：
\[
\begin{bmatrix} -4 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ 7 & 8 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
通过行简化，我们得到：
\[
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}
\]
因此，特征向量 \( v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
类似地，可以求出其他特征值对应的特征向量。
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