线性代数二真题解析如下：
一、选择题
1. 设矩阵A为 \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则矩阵A的行列式为（ ）
A. 2 B. 6 C. 10 D. 12
答案：B
解析：行列式的计算公式为 \( \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \)，代入数值计算得 \( 1 \times 4 - 2 \times 3 = 6 \)。
2. 设向量 \( \vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \)，向量 \( \vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)，则向量 \( \vec{a} \) 与向量 \( \vec{b} \) 的点积为（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
答案：A
解析：点积的计算公式为 \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 \)，代入数值计算得 \( 1 \times 2 + 2 \times 3 = 5 \)。
二、填空题
3. 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则矩阵 \( A \) 的逆矩阵为 \( \begin{bmatrix} \_\_\_\_\_ & \_\_\_\_\_ \\ \_\_\_\_\_ & \_\_\_\_\_ \end{bmatrix} \)。
答案：\( \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)
解析：逆矩阵的计算公式为 \( A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A) \)，其中 \( \text{det}(A) \) 为行列式，\( \text{adj}(A) \) 为伴随矩阵。
三、解答题
4. 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
答案：特征值为 \( \lambda_1 = 2 \)，\( \lambda_2 = 5 \)；特征向量分别为 \( \vec{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)，\( \vec{v_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \)。
解析：特征值和特征向量的求解方法为解方程 \( (A - \lambda I)\vec{x} = 0 \)，其中 \( I \) 为单位矩阵。
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