在2021年的考研数学二中，试题涵盖了广泛的知识点，以下是对其中几个典型题目的原创解答：
1. 线性代数题目：已知矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：首先计算特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，得到 \( \lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0 \)。解得 \( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 4 \)。对应 \( \lambda_1 = 1 \) 的特征向量是 \( \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)，对应 \( \lambda_2 = 4 \) 的特征向量是 \( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \)。
2. 概率论题目：某事件 \( A \) 的概率为 \( P(A) = 0.6 \)，求事件 \( A \) 至少发生一次的概率。
解答：事件 \( A \) 至少发生一次的概率等于 \( 1 - P(\text{非}A) = 1 - (1 - P(A)) = 1 - 0.4 = 0.6 \)。
3. 微积分题目：计算定积分 \( \int_0^{\pi} x \sin x \, dx \)。
解答：使用分部积分法，设 \( u = x \)，\( dv = \sin x \, dx \)，则 \( du = dx \)，\( v = -\cos x \)。根据分部积分公式 \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)，得到 \( \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x \)。代入上下限 \( 0 \) 和 \( \pi \)，得到 \( \int_0^{\pi} x \sin x \, dx = -\pi \cos \pi + \sin \pi - (0 \cdot \cos 0 + \sin 0) = \pi \)。
4. 复变函数题目：已知复变函数 \( f(z) = e^z \)，求 \( f \) 在 \( z = 1 + i \) 处的泰勒展开式。
解答：泰勒展开式为 \( f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n \)，其中 \( a = 1 + i \)。计算 \( f^{(n)}(1+i) \)，得到 \( f(z) = e^{1+i} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1+i)^n}{n!}(z-1-i)^n \)。
通过以上解答，可以看出2021年考研数学二试题对考生综合运用数学知识的能力要求较高。备考过程中，利用【考研刷题通】小程序进行针对性练习，将有助于巩固知识点，提高解题技巧。
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