在2020年的考研数一试题中，考生们面临了多场充满挑战的数学考试。试题涵盖了从基础概念到高阶应用的广泛内容，以下是对其中一道典型试题的原创解答：
题目：已知函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$，求函数的极值点。
解答：
首先，我们需要求出函数的导数$f'(x)$，以便找到极值点。根据导数的定义，我们有：
$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9.$$
接下来，为了找到极值点，我们需要求解$f'(x) = 0$：
$$3x^2 - 12x + 9 = 0.$$
这是一个二次方程，我们可以通过因式分解或者使用求根公式来解它。这里，我们选择因式分解：
$$3(x^2 - 4x + 3) = 0,$$
$$3(x - 1)(x - 3) = 0.$$
因此，$x = 1$和$x = 3$是导数为零的点，它们可能是极值点。
为了确定这些点是否为极值点，我们需要检查它们在导数符号变化中的角色。我们可以通过在$x = 1$和$x = 3$的左右两侧取值，观察$f'(x)$的符号变化：
- 当$x < 1$时，取$x = 0$，则$f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0$；
- 当$1 < x < 3$时，取$x = 2$，则$f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = -3 < 0$；
- 当$x > 3$时，取$x = 4$，则$f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 9 > 0$。
由于$f'(x)$在$x = 1$时从正变负，说明$x = 1$是极大值点；在$x = 3$时从负变正，说明$x = 3$是极小值点。
最后，我们计算极值：
$$f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1 = 5,$$
$$f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 1 = -8.$$
因此，函数在$x = 1$处取得极大值5，在$x = 3$处取得极小值-8。
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