2022年考研数学三真题答案详解如下：
一、选择题部分
1. 题目：求函数$f(x)=x^3-3x$的极值点。
答案：求导得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，解得$x=\pm 1$。检验得$x=-1$为极大值点，$x=1$为极小值点。
2. 题目：已知矩阵$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A$的行列式。
答案：$|A|=1*4-2*3=4-6=-2$。
3. 题目：设$a>0$，函数$f(x)=x^2-2ax$在$x=a$处取得最小值，求$a$的值。
答案：$f'(x)=2x-2a$，令$f'(x)=0$，解得$x=a$。由题意得$f(a)=a^2-2a^2=-a^2$，故$a=0$。
二、填空题部分
1. 题目：若$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x^2}=$
答案：$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{0^2}=+\infty$。
2. 题目：已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n^2-2n+1$，求$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$。
答案：$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3(n+1)^2-2(n+1)+1}{3n^2-2n+1}=1$。
三、解答题部分
1. 题目：求级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}$的收敛半径和收敛区间。
答案：收敛半径$R=\frac{1}{\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n^2+1}}}=1$，收敛区间为$(-1,1)$。
2. 题目：设$A$是$n$阶方阵，$A^2=0$，证明$A$的任意两个特征值之和为零。
答案：设$\lambda$是$A$的一个特征值，$\mathbf{v}$是对应的特征向量，则$A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$。两边同时乘以$A$，得$A^2\mathbf{v}=\lambda A\mathbf{v}=\lambda^2\mathbf{v}$。由于$A^2=0$，所以$\lambda^2\mathbf{v}=0$，即$\lambda^2=0$，故$\lambda=0$。因此，$A$的任意两个特征值之和为零。
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