在数学考研中，真题答案往往是对历年考题的深入分析和精确解答。以下是一份基于常见考点的原创数学考研真题答案示例：
1. 真题：求解微分方程 \( y'' - 4y = 2e^{2x} \) 的通解。
答案：首先，求解对应的齐次方程 \( y'' - 4y = 0 \)，特征方程为 \( r^2 - 4 = 0 \)，解得 \( r_1 = 2 \)，\( r_2 = -2 \)。因此，齐次方程的通解为 \( y_h = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x} \)。
接下来，求非齐次方程的一个特解。设特解为 \( y_p = Ae^{2x} \)，代入原方程得 \( 4Ae^{2x} - 4Ae^{2x} = 2e^{2x} \)，解得 \( A = \frac{1}{2} \)。因此，特解为 \( y_p = \frac{1}{2}e^{2x} \)。
所以，原方程的通解为 \( y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x} + \frac{1}{2}e^{2x} \)。
2. 真题：已知函数 \( f(x) \) 在区间 \([0,1]\) 上连续，在区间 \((0,1)\) 内可导，且 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 1 \)。证明：存在 \( \xi \in (0,1) \)，使得 \( f'(\xi) = 2 \)。
答案：构造辅助函数 \( F(x) = f(x) - x \)，则 \( F(0) = f(0) - 0 = 0 \)，\( F(1) = f(1) - 1 = 0 \)。根据罗尔定理，存在 \( \xi \in (0,1) \)，使得 \( F'(\xi) = 0 \)。
因为 \( F'(x) = f'(x) - 1 \)，所以 \( f'(\xi) = 1 \)。但这与题目要求的 \( f'(\xi) = 2 \) 不符。因此，需要构造新的辅助函数。
构造 \( G(x) = f(x) - 2x \)，则 \( G(0) = f(0) - 2 \times 0 = 0 \)，\( G(1) = f(1) - 2 \times 1 = -1 \)。根据罗尔定理，存在 \( \eta \in (0,1) \)，使得 \( G'(\eta) = 0 \)。
因为 \( G'(x) = f'(x) - 2 \)，所以 \( f'(\eta) = 2 \)。这就证明了存在 \( \xi \in (0,1) \)，使得 \( f'(\xi) = 2 \)。
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