【考研模拟题】求函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 6x^2 + 9x}{x^2 - 4} \) 的渐近线。
解题步骤：
1. 垂直渐近线：检查分母为零的点，即 \( x^2 - 4 = 0 \)，解得 \( x = 2 \) 或 \( x = -2 \)。由于分子在这些点不为零，因此 \( x = 2 \) 和 \( x = -2 \) 是函数的垂直渐近线。
2. 水平渐近线：当 \( x \) 趋向于正无穷或负无穷时，观察函数的极限。计算：
\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{x^3 - 6x^2 + 9x}{x^2 - 4} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^3(1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^2})}{x^2(1 - \frac{4}{x^2})} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^3}{x^2} = \infty
\]
由于极限不存在，说明没有水平渐近线。
3. 斜渐近线：由于水平渐近线不存在，我们需要检查斜渐近线。计算：
\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{f(x)}{x} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^3 - 6x^2 + 9x}{x^3 - 4x} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}} = 1
\]
因此，斜渐近线为 \( y = x \)。
答案：函数 \( f(x) \) 的渐近线为 \( x = 2 \)，\( x = -2 \)，以及斜渐近线 \( y = x \)。
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