在今日的考研高数挑战中，我们面对的是一个涉及不定积分的经典问题。假设有如下函数：\( f(x) = \frac{e^x}{x^2} \)，要求计算其不定积分 \( \int \frac{e^x}{x^2} \, dx \)。
解题思路如下：首先，注意到积分中的 \( e^x \) 可以通过分部积分法处理。设 \( u = e^x \)，则 \( du = e^x \, dx \)；设 \( dv = \frac{1}{x^2} \, dx \)，则 \( v = -\frac{1}{x} \)。应用分部积分公式 \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)，我们有：
\[ \int \frac{e^x}{x^2} \, dx = -\frac{e^x}{x} - \int \left(-\frac{1}{x}\right) e^x \, dx \]
对于剩余的积分 \( \int \frac{1}{x} e^x \, dx \)，再次使用分部积分，设 \( u = e^x \)，\( dv = \frac{1}{x} \, dx \)，得到 \( du = e^x \, dx \)，\( v = \ln|x| \)，于是：
\[ \int \frac{1}{x} e^x \, dx = e^x \ln|x| - \int \ln|x| e^x \, dx \]
将此结果代回之前的表达式，我们得到：
\[ \int \frac{e^x}{x^2} \, dx = -\frac{e^x}{x} + e^x \ln|x| - \int \ln|x| e^x \, dx \]
由于 \( \int \ln|x| e^x \, dx \) 的计算较为复杂，通常需要进一步的技巧或查表来解决。但通过上述步骤，我们已经对问题有了深入的理解。
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