在深入探讨考研数学真题中的数列极限证明问题时，我们首先需要明确数列极限的定义：若对于任意正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，数列{an}的任意项an与极限值A的差的绝对值小于ε，即|an - A| < ε，则称数列{an}的极限为A。
以下是一个典型的考研数学真题数列极限证明问题：
题目：证明数列{an} = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n 的极限为e。
证明：
首先，我们知道e是一个无理数，其定义为e = lim(n→∞) (1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!)。
为了证明数列{an}的极限为e，我们可以使用夹逼定理。考虑数列{bn} = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n，显然有bn ≤ an ≤ 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! = e。
接下来，我们需要证明数列{bn}和{an}的极限均为e。
对于数列{bn}，我们有：
lim(n→∞) bn = lim(n→∞) (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) = e。
对于数列{an}，我们可以通过夹逼定理来证明其极限也为e。因为对于任意正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，有：
e - 1/2! < 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n < e。
因此，当n>N时，有：
e - ε < 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n < e + ε。
由此，我们得出结论：lim(n→∞) an = e。
考研刷题通——你的考研刷题小助手，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效备考，轻松应对各类题目。立即加入我们，开启你的考研刷题之旅！【考研刷题通】