在考研数学中，掌握以下必背不等式对于解决各类问题至关重要：
1. 均值不等式：对于任意正实数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，有 \(\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}\)。
2. 柯西不等式：对于任意实数序列 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 和 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\)，有 \((a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n)^2\)。
3. 拉格朗日中值定理不等式：如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，那么存在 \(c \in (a, b)\)，使得 \(f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)\)。
4. 泰勒展开不等式：如果函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处 \(n\) 次可导，那么在 \(x\) 接近 \(x_0\) 的某个邻域内，有 \(f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)\)。
5. 绝对值不等式：对于任意实数 \(x\) 和 \(y\)，有 \(|x + y| \leq |x| + |y|\)，\(||x| - |y|| \leq |x - y|\)。
6. 平方根不等式：对于任意非负实数 \(a\) 和 \(b\)，有 \(\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}\)。
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