傅里叶变换导数定理的证明可以从以下步骤进行：
1. 傅里叶变换的定义：首先，回顾傅里叶变换的定义，即一个函数f(t)的傅里叶变换F(ω)定义为：
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \]
2. 导数的傅里叶变换：接下来，我们考虑f(t)的导数f'(t)的傅里叶变换。根据傅里叶变换的性质，我们有：
\[ \mathcal{F}\{f'(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f'(t) e^{-i\omega t} dt \]
3. 分部积分：对上式进行分部积分，设u = f'(t)，dv = e^{-iωt}dt，则du = f''(t)dt，v = \frac{1}{-iω}e^{-iωt}。分部积分得：
\[ \int f'(t) e^{-i\omega t} dt = \left[ \frac{f'(t)}{-i\omega} e^{-i\omega t} \right]_{-\infty}^{\infty} - \int \frac{f''(t)}{-i\omega} e^{-i\omega t} dt \]
4. 边界条件：由于f'(t)是f(t)的导数，通常假设f(t)和f'(t)在无穷远处趋于零，因此第一项为零。得到：
\[ \mathcal{F}\{f'(t)\} = \frac{1}{-i\omega} \int_{-\infty}^{\infty} f''(t) e^{-i\omega t} dt \]
5. 傅里叶变换的导数：注意到上式右边正是f''(t)的傅里叶变换乘以\(\frac{1}{-i\omega}\)，因此：
\[ \mathcal{F}\{f'(t)\} = \frac{1}{-i\omega} \mathcal{F}\{f''(t)\} \]
6. 结论：最后，根据傅里叶变换的线性性质，我们得到傅里叶变换导数定理：
\[ \mathcal{F}\{f'(t)\} = i\omega \mathcal{F}\{f(t)\} \]
这样，我们就证明了傅里叶变换导数定理。
【考研刷题通】——你的考研刷题小助手！政治、英语、数学等全部考研科目，海量题库，精准练习，助你考研路上事半功倍！快来体验吧！