指数函数的导数公式的推导过程如下：
1. 设定指数函数为 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)。
2. 为了求导，我们首先对函数 \( f(x) \) 进行对数变换，利用对数函数的性质，得到 \( \ln f(x) = \ln a^x = x \ln a \)。
3. 接下来，我们对等式两边进行求导。根据链式法则，\( \frac{d}{dx} \ln f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} \)，对 \( x \ln a \) 求导，由于 \( \ln a \) 是常数，得到 \( \frac{d}{dx}(x \ln a) = \ln a \)。
4. 将上述两个导数等式相等，得到 \( \frac{f'(x)}{f(x)} = \ln a \)。
5. 解出 \( f'(x) \)，即 \( f'(x) = f(x) \cdot \ln a = a^x \cdot \ln a \)。
6. 最终，指数函数 \( f(x) = a^x \) 的导数公式为 \( f'(x) = a^x \ln a \)。
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