空间曲线绕z轴旋转生成的旋转曲面方程可以通过以下步骤求得：
1. 假设原始空间曲线的参数方程为 \( x = x(t), y = y(t), z = z(t) \)。
2. 由于曲线绕z轴旋转，因此z坐标将保持不变，而x和y坐标将根据旋转的几何关系变为新的坐标。
3. 在旋转过程中，每一点（x, y, z）在绕z轴旋转后会移动到新位置（x', y', z'），其中 \( x' = x, y' = y \cdot \cos(\theta) - x \cdot \sin(\theta), z' = z \)。
4. 对于旋转曲面上的任意点（x', y', z'），我们有 \( x = x', y = y' \cdot \cos(\theta) + x' \cdot \sin(\theta), z = z' \)。
5. 将这些关系代入原始曲线的参数方程，可以得到旋转曲面的方程。
以一个简单的例子说明，如果原始曲线是直线 \( x = t, y = 0, z = t \)，那么绕z轴旋转的曲面方程可以通过以下步骤求得：
- 原始曲线的参数方程是 \( x = t, y = 0, z = t \)。
- 绕z轴旋转，x坐标保持不变，y坐标变为 \( y' = y \cdot \cos(\theta) - x \cdot \sin(\theta) = -t \cdot \sin(\theta) \)，z坐标保持不变。
- 将旋转关系代入，我们得到 \( x = t, y' = -t \cdot \sin(\theta), z = t \)。
因此，旋转曲面上的任意点 \( (x, y, z) \) 与原始曲线上的点 \( (t, 0, t) \) 相对应，其中 \( t \) 是参数。由于 \( y' = -t \cdot \sin(\theta) \)，我们可以得到 \( t = -y' / \sin(\theta) \)。
将 \( t \) 代入 \( x \) 和 \( z \) 的方程中，我们得到旋转曲面的方程：
\[ x = -y' / \sin(\theta), \quad z = -y' / \sin(\theta) \]
简化得到：
\[ y' = -\sin(\theta)(x + z) \]
由于 \( \sin(\theta) \) 是任意值，我们可以去掉它，因为它在等式两边都出现。因此，旋转曲面的方程为：
\[ y = -(x + z) \]
这就是绕z轴旋转直线 \( x = t, y = 0, z = t \) 生成的旋转曲面方程。
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