施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）的证明通常涉及以下步骤：
1. 定义内积：设向量空间 \( V \) 中的两个向量 \( \mathbf{a} \) 和 \( \mathbf{b} \)，它们的内积定义为 \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \)，其中 \( a_i \) 和 \( b_i \) 分别是向量 \( \mathbf{a} \) 和 \( \mathbf{b} \) 的第 \( i \) 个分量。
2. 构造平方和：考虑向量 \( \mathbf{a} \) 和 \( \mathbf{b} \) 的平方和，即 \( \mathbf{a}^2 = \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \) 和 \( \mathbf{b}^2 = \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \)。
3. 应用柯西-施瓦茨不等式：根据柯西-施瓦茨不等式，有 \( (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \leq \mathbf{a}^2 \mathbf{b}^2 \)。
4. 推导不等式：将上述不等式展开，得到 \( \left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right) \)。
5. 开方得到最终不等式：对上述不等式两边同时开方，得到 \( |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \sqrt{\mathbf{a}^2 \mathbf{b}^2} \)，即 \( |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \)，其中 \( \|\mathbf{a}\| \) 和 \( \|\mathbf{b}\| \) 分别是向量 \( \mathbf{a} \) 和 \( \mathbf{b} \) 的模。
通过以上步骤，我们证明了施瓦茨不等式。
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