给定函数 \( z = \frac{\sin y^2}{x} \)，我们需要求其关于 \( x \) 的偏导数。
首先，我们应用商的求导法则，即 \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)，其中 \( u = \sin y^2 \) 和 \( v = x \)。
接下来，我们分别求 \( u \) 和 \( v \) 的导数：
- \( u = \sin y^2 \) 的导数 \( u' \) 是 \( \cos y^2 \cdot 2y \)，因为 \( \sin \) 的导数是 \( \cos \)，而 \( y^2 \) 的导数是 \( 2y \)。
- \( v = x \) 的导数 \( v' \) 是 1。
将这些代入商的求导法则中，我们得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(\cos y^2 \cdot 2y \cdot x) - (\sin y^2 \cdot 1)}{x^2} \]
简化后，我们得到偏导数 \( z \) 关于 \( x \) 的表达式为：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2xy \cos y^2 - \sin y^2}{x^2} \]
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