二次导数的证明过程如下：
1. 定义与符号：首先，我们定义函数的导数。如果函数\( f(x) \)在点\( x \)可导，那么导数记为\( f'(x) \)。导数的定义是：\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)。
2. 一阶导数的求法：对于一阶导数，我们可以通过极限来求得。假设我们有一个函数\( f(x) \)，其一阶导数\( f'(x) \)已经求得。
3. 求二阶导数：要证明二阶导数，我们需要对一阶导数\( f'(x) \)再次求导。根据导数的定义，我们有：
\[
f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}
\]
4. 应用导数定义：使用导数的定义来计算上述极限：
\[
f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\lim_{k \to 0} \frac{f(x+h+k) - f(x+h)}{k} - \lim_{k \to 0} \frac{f(x+k) - f(x)}{k}}{h}
\]
5. 极限的运算：由于极限是连续的，我们可以将极限运算交换：
\[
f''(x) = \lim_{h \to 0} \lim_{k \to 0} \left( \frac{f(x+h+k) - f(x+h)}{hk} - \frac{f(x+k) - f(x)}{hk} \right)
\]
6. 简化表达式：因为\( h \)和\( k \)都是趋近于0的，所以\( hk \)也趋近于0。因此，我们可以将两个分数合并为一个：
\[
f''(x) = \lim_{h \to 0} \lim_{k \to 0} \frac{f(x+h+k) - f(x+h) - f(x+k) + f(x)}{hk}
\]
7. 夹逼定理：由于\( f(x+h+k) \)在\( x+h \)和\( x+k \)之间，我们可以应用夹逼定理，得到：
\[
\lim_{h \to 0} \lim_{k \to 0} \frac{f(x+h+k) - f(x+h) - f(x+k) + f(x)}{hk} = \frac{f''(x)}{2}
\]
8. 结论：最终，我们得到\( f''(x) = \frac{f''(x)}{2} \)，这证明了二阶导数的存在。
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