0到2sinx的n次方的积分可以通过分部积分法或者直接应用三角函数的积分公式来解决。这里提供一种直接的方法：
首先，我们知道sinx的积分是-cosx，但我们需要的是sinx的n次方的积分。利用积分的线性性质，我们可以将原积分拆分为多个部分：
∫(0到2π) (2sinx)^n dx = 2^n ∫(0到2π) sin^n(x) dx
接下来，我们需要处理sin^n(x)的积分。对于偶数次幂的sinx，我们可以使用递归公式来简化积分：
∫ sin^n(x) dx = -cos(x)sin^(n-1)(x) + (n-1)∫ sin^(n-2)(x) dx
将这个公式应用于我们的积分，我们可以得到：
∫(0到2π) sin^n(x) dx = -cos(x)sin^(n-1)(x) | (0到2π) + (n-1)∫(0到2π) sin^(n-2)(x) dx
注意到当x从0到2π时，cos(x)的周期性会导致sin^(n-1)(x)的值在0到2π的积分中为0（除非n为奇数，此时sin^n(x)在0和π处对称，积分不为0）。因此，我们可以得出：
∫(0到2π) sin^n(x) dx = 0 （对于偶数n）
∫(0到2π) sin^n(x) dx = 2π （对于奇数n）
结合这些信息，我们得到：
∫(0到2π) (2sinx)^n dx = 2^n * 2π （对于奇数n）
∫(0到2π) (2sinx)^n dx = 0 （对于偶数n）
因此，当n为偶数时，积分结果为0；当n为奇数时，积分结果为2π * 2^n。
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