要证明不等式 \( lnx \geq x - 1 \)，我们可以构造一个辅助函数 \( f(x) = lnx - (x - 1) \)，然后分析这个函数的性质。
首先，计算 \( f(x) \) 的导数：
\[ f'(x) = \frac{1}{x} - 1 \]
接下来，找出 \( f'(x) = 0 \) 的点：
\[ \frac{1}{x} - 1 = 0 \]
\[ \frac{1}{x} = 1 \]
\[ x = 1 \]
然后，分析 \( f'(x) \) 的符号：
- 当 \( x < 1 \) 时，\( \frac{1}{x} > 1 \)，所以 \( f'(x) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 在 \( (0, 1) \) 区间内是递增的。
- 当 \( x > 1 \) 时，\( \frac{1}{x} < 1 \)，所以 \( f'(x) < 0 \)，函数 \( f(x) \) 在 \( (1, +\infty) \) 区间内是递减的。
由于 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得局部极大值，我们计算 \( f(1) \)：
\[ f(1) = ln1 - (1 - 1) = 0 \]
因此，对于所有 \( x > 0 \)，有 \( f(x) \geq 0 \)，即 \( lnx \geq x - 1 \)。
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