要证明一个函数在某个点可导和连续，我们可以按照以下步骤进行：
1. 连续性证明：
- 根据连续的定义，若函数在某点连续，则该点的极限值等于函数在该点的函数值。
- 具体来说，对于函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处，如果 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)，则函数在 \( x_0 \) 处连续。
2. 可导性证明：
- 根据可导的定义，若函数在某点可导，则该点的导数存在。
- 对于函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处，如果导数 \( f'(x_0) \) 存在，即 \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\) 存在，则函数在 \( x_0 \) 处可导。
以下是一个具体的例子：
例子：证明函数 \( f(x) = x^2 \) 在点 \( x_0 = 0 \) 处既连续又可导。
连续性证明：
- 计算 \( \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0 \)。
- 计算 \( f(0) = 0^2 = 0 \)。
- 因为 \(\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)\)，所以 \( f(x) \) 在 \( x_0 = 0 \) 处连续。
可导性证明：
- 计算 \( f'(x) = 2x \)。
- 计算 \( f'(0) = 2 \cdot 0 = 0 \)。
- 计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 0}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0 \)。
- 因为 \( f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \)，所以 \( f(x) \) 在 \( x_0 = 0 \) 处可导。
通过上述步骤，我们证明了函数 \( f(x) = x^2 \) 在点 \( x_0 = 0 \) 处既连续又可导。
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