柯西中值定理的几何意义在于，它揭示了连续曲线在两点之间至少存在一点，使得该点的切线斜率等于这两点连线的斜率。具体来说，对于函数\( f(x) \)和\( g(x) \)在闭区间\[a, b\]上连续，且在开区间(a, b)内可导，存在\( \xi \in (a, b) \)，使得：
\[ \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \]
这表明，在曲线\( y = f(x) \)和\( y = g(x) \)上，存在一个点\( (\xi, f(\xi)) \)，其切线斜率与这两条曲线在点\( (a, f(a)) \)和\( (b, g(b)) \)之间的连线的斜率相同。这一几何直观揭示了函数变化率与曲线斜率之间的关系。微信考研刷题小程序：【考研刷题通】，助你深入理解柯西中值定理及其几何意义，全面提升考研解题能力。