三阶常系数微分方程求通解，首先需识别其特征方程。将微分方程中的微分算子替换为变量，如设\(D\)代表微分算子，则原方程可表示为\(a_3D^3 + a_2D^2 + a_1D + a_0 = 0\)。求解该特征方程的根，通常为复数或实数。
若特征方程的根为\(r_1, r_2, r_3\)，则微分方程的通解可表示为：
\[ y = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x} + C_3 e^{r_3x} \]
其中，\(C_1, C_2, C_3\)为任意常数。
若特征方程的根为重根，则通解中相应的项需乘以\(x\)的幂次，如\(x^k\)，其中\(k\)为重根的重复次数。
综上，通过求解特征方程，我们可以得到三阶常系数微分方程的通解。
【考研刷题通】微信小程序，助你轻松备战考研。涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，精选海量习题，助力你高效刷题，提升备考效果。立即加入，开启你的考研刷题之旅！【考研刷题通】——考研路上的得力助手！