在数学中，有理化求极限是一种常用的极限计算方法。它主要针对形式为“0/0”或“∞/∞”的未定式。以下是一个详细的步骤指南：
1. 识别未定式：首先，确定极限形式是否为“0/0”或“∞/∞”。如果不是这两种形式，可能需要先通过代数变形或其他方法转化为未定式。
2. 有理化分母：对于形如“0/0”的未定式，可以尝试将分子和分母同时乘以一个适当的有理化因子，使其变为整式或分数式，从而消去未定式。
例如，若原极限为 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$，我们可以通过乘以 $\frac{\sin x}{\sin x}$ 的形式，即 $\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{\sin x}$，进行有理化。
3. 应用洛必达法则或等价无穷小替换：如果经过有理化后，极限仍然是“0/0”或“∞/∞”的形式，可以使用洛必达法则或等价无穷小替换来求解。
- 洛必达法则：对于形式为“0/0”或“∞/∞”的未定式，可以求导数后再次求极限。
- 等价无穷小替换：如果分子和分母都趋向于0，且分子和分母之间存在等价无穷小关系，可以使用等价无穷小替换。
4. 简化表达式：在求得导数或进行等价无穷小替换后，对表达式进行简化，最终得到极限值。
5. 验证结果：对求得的结果进行验证，确保其正确性。
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